Frattali oggi – 2

Per la gioia di grandi e piccini, e sfruttando il fatto che sono sveglio dalle 5 e non riesco ad addormentarmi, oggi uscirà il secondo attesissimo numero di “Frattali Oggi”, la rivista in formato elettronico che vi spiega la geometria frattale usando solo la Matematica dei Puffi e vi permette di mesmerizzare le ragazzine in Via Sanvi.

Insiemi di Julia e di Mandelbrot
ovvero
storia di un punto che cerca di non andarsene a quel paese ma non sempre ci riesce

Oggi si parla di insiemi di Julia e di Mandelbrot. Ma prima di addentrarci in questo succosissimo argomento, una breve digressione: i numeri complicati.

No, si chiamano complessi. Scusate, mi sbaglio sempre.

Se questa fosse una rubrica seria e rigorosa, vi direi pressappoco che i numeri complessi sono, dal punto di vista algebrico, un corpo completo; dal punto di vista topologico, uno spazio metrico completo, e vi direi che su di essi non è possibile stabilire alcun ordinamento compatibile con la struttura algebrica. E probabilmente parlerei ancora per mezz’ora tirando in mezzo il buon vecchio Peano ed i suoi assiomi, giusto per darvi un’idea.

Tuttavia, se questa fosse una rubrica seria e rigorosa io sarei la persona meno indicata per scriverla, pertanto useremo solo la Matematica dei Puffi (TM), ovverosia quella che si capisce abbastanza bene perché si spinge poco più in là delle quattro operazioni.

Quindi, diciamo semplicemente che i numeri complessi sono meno complessi di quanto dice il nome (questa è una delle battute più abusate della storia della matematica).

Ogni numero complesso, infatti, è la somma di un numero reale (e questi li conosciamo, o almeno facciamo finta di conoscerli) e di un numero immaginario.

E che è un numero immaginario? Semplice, è il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria.

E che è l’unita immaginaria? Qui si inizia a ridere…

L’unità immaginaria è quel numero che moltiplicato per se stesso dà -1.

Sì, ci hanno messo anni a convincermi che un numero reale moltiplicato per se stesso dà un altro numero reale maggiore o uguale a zero, e poi arriva una simpatica donna in seconda superiore e mi dice che erano un sacco di balle.

O meglio, non lo erano: infatti, nessun numero reale moltiplicato per sè stesso può dare un numero reale negativo. E allora qualcuno si è inventato i numeri immaginari, e ha risolto il problema.

Chiameremo questa unità immaginaria “i” (gli ingegneri la chiamano “j”, ma sono tamarri & grezzi e noi li schifiamo, pertanto la chiamiamo “i“) e converremo che

i · i = -1

Attenzione, i · i = -1 non implica che la radice quadrata di -1 sia i; diffidate di chi definisce l’unità immaginaria in questo modo, perché una simile definizione porta a qualche interessante paradosso.
O meglio, se la si vuole far funzionare bisogna fare qualche ipotesi in più, ma io la trovo inelegante; poiché il buon gusto che non ho nella vita lo riverso in queste inezie, per una volta accontentatemi e lasciatemi usare la definizione che più mi piace.

A questo punto tutto torna: un numero immaginario è un numero reale moltiplicato per i.

5i : questo è un numero immaginario
-3i : questo è un numero immaginario
Baol : questo è un bel libro di Stefano Benni

e un numero complesso è la somma di un reale e di un immaginario

4+7i : questo è un numero complesso
-5+i : questo è un numero complesso
7i : questo è un numero complesso (0+7i)
14 : questo è un numero complesso (14+0i)
Gigi d’Alessio : questo è un pessimo cantante

Sui numeri complessi sono definite le solite quattro operazioni e anche tutte le altre che sono definite sui numeri reali (e funzionano anche meglio), ma noi focalizziamoci solo su un paio che ci interessano:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(a+bi) · (c+di) = (ac – bd) + (bc + ad)i

e che sono anche, tutto sommato, piuttosto ragionevoli visto che usano l’algebra a cui siamo abituati. Se fossimo dei teNNici, potremmo dire che i numeri complessi sono compatibili verso il basso con i cari, vecchi, numeri reali, e che non dovremo buttare via tutto il software che abbiamo in testa al riguardo; ma non siamo teNNici, e non lo diciamo.

Mentre i numeri reali si possono immaginare (ah, ah! Notate l’allegro bisticcio linguistico! Ah, ah!) come disposti tutti in fila su una retta, e si può tranquillamente dire che uno è minore di un altro perché sta più a sinistra, i numeri complessi si pensano bene su un piano: in ascisse mettiamo la retta dei numeri reali, come siamo abituati a pensarla, in ordinate quella dei numeri immaginari, e ad ogni coppia reale-immaginario corrisponderà un punto del piano. Tra l’altro, questo ci suggerisce che non è così immediato stabilire se un numero complesso sia minore o maggiore di un altro: magari uno sta vicino vicino all’asse reale e sta a quel paese sull’asse immaginario, ed un altro sta proprio sull’asse immaginario ma tocca il sedere a meno infinito sull’asse reale… chi è più grosso?

Semplice, non possiamo stabilirlo. Ed infatti all’inizio ho detto che non è possibile stabilire una relazione d’ordine. Pensate proprio che parli a vanvera?

Però, possiamo dire se un numero complesso è più o meno vicino all’origine di un altro: la distanza di un numero complesso dall’origine si chiama modulo, e si calcola così:

modulo(a+bi) = √(a2 + b2)

Per ricavare la formuletta non ci vuole una scienza: discende dritta dritta dal teorema di Pitagora.

Potremmo anche chiederci qual è l’angolo che il segmento che congiunge l’origine degli assi con un numero complesso forma con il semiasse positivo dei reali. Ah, tenendo presente che, per convenzione, un angolo è crescente quando aumenta in senso antiorario. Questo angolo si chiama argomento del numero complesso.

Non fate quella faccia: lo so che non vi sarebbe mai venuto in mente di chiedervelo. Ma credete che He-Man si sia mai chiesto perché è passato davanti al castello di Grayskull con la spada in mano gridando: “Per il potere di Grayskull! La grande forza è con meeeeee”, e tirando in mezzo pure la sua povera tigre nel processo?

Ok, ok, non era mia intenzione equipararvi ad uno che va in giro con il gonnellino ed una tigre. Andiamo pure avanti.

Incidentalmente, a questo punto abbiamo in mano due diversi modi di rappresentare un numero complesso, proprio come ci sono due diversi modi per specificare la posizione di un punto su un piano: o diamo le coordinate, in termini di parte reale e parte immaginaria, o diamo il modulo e l’argomento, e non cambia poi molto.

Abbastanza intuitivamente, se a+bi è un numero complesso di modulo R e argomento A (notazione tutto fuorché standard, ma questa è la Matematica dei Puffi (TM)), notiamo che

a+bi = R·(cos(A) + i·sin(A))

E vi dico un’altra cosa buffissima: c’era un tipo, un certo De Moivre, mi pare, che visto che le ragazze non lo guardavano neppure di striscio e non poteva perdere tempo come faccio io a chattare tutta la notte, la mattina alle sette si inventava teoremi. Uno di quelli che gli sono riusciti meglio dice che, dati due numeri complessi di modulo, rispettivamente, R1 e R2 e di argomento rispettivamente A1 e A2, il loro prodotto ha per modulo il prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti.

E a noi che ce ne frega? Non molto… ma non dimentichiamo, visto che più avanti ci servirà, che elevando al quadrato un numero complesso si ottiene un altro numero complesso che ha come modulo il quadrato del modulo di quello originario, e l’argomento doppio.

Quindi, in termini geometrici, che succede ad un numero complesso se lo eleviamo al quadrato?

Se il suo modulo è minore di uno, ovvero vivacchia all’interno della circonferenza di raggio unitario con centro nell’origine, esso diminuisce ulteriormente ed il poverello si avvicina ancora di più all’origine. Se il modulo è maggiore di uno, si allontana dall’origine di brutto brutto brutto. Se è uno, rimane sulla circonferenza di raggio unitario.

Ma attenzione: abbiamo detto che il suo argomento, ossia l’angolo che forma con l’asse delle x, raddoppia. In ogni caso, che il suo modulo sia minore, uguale o maggiore di uno, si farà un bel giro in senso antiorario.

Se prendiamo un povero numero complesso e lo seviziamo a morte, continuando ad elevarlo al quadrato, succederanno nel complesso (ah ah! che umorista!) le seguenti cosine:

  • Se il modulo era minore di uno, ogni volta che lo eleviamo si avvicinerà di più all’origine degli assi, muovendosi secondo una sorta di spirale in senso antiorario che culminerà, infine, nel punto 0+0i. Potrebbe volerci un pò, tuttavia.
  • Se il modulo era uguale a uno, continuerà a girare come un cretino sulla circonferenza unitaria.
  • Se il modulo era maggiore di uno, se ne andrà a quel paese secondo una traiettoria più o meno spiraleggiante, tendendo verso l’infinito.

Ok, ci siamo fino a questo punto? Immaginatevi un punto a caso, e immaginate cosa succede di lui se lo elevate al quadrato, e poi ancora, e poi ancora. Guardate come i poveri piccini che stanno all’interno della circonferenza unitaria vengono risucchiati dall’origine degli assi, quelli al di fuori si perdono nella desolazione del freddo spazio matematico, e quelli proprio sul bordo rimangono lì sulla giostra.

A questo punto, potremmo dire che la successione complessa:

Z(n+1) = Z(n)2

ha due attrattori, lo zero e l’infinito. La frontiera tra i due bacini di attrazione è la circonferenza unitaria centrata nell’origine.

Hmm… e questo cosa c’entra con i frattali?

C’entra, c’entra. Se avete sottomano il primo numero di “Frattali Oggi” vi ricorderete probabilmente che si parlava di punti fissi e di successioni ricorsive che, più o meno, facevano la pasta con il piano.

Andiamo avanti.

Spesso un buon modo per ottenere un frattale è prendere un piano, piegare, stirare, girare, e poi ancora piegare, stirare, girare e vedere cosa succede.

Vi sembra semplicistico? Naaah…

Allora noi cosa facciamo? Ci inventiamo un modo di seviziare il piano. Prendiamo ogni punto del piano complesso, e vi applichiamo sopra una stessa successione (scema) definita per ricorsione.

La successione (scema) che useremo è la seguente:

Z(n+1) = Z(n)2 + C

dove Z e C sono numeri complessi. Cosa fa questa simpaticona ad un punto del piano?

Prima lo eleva al quadrato, ed al numero succede esattamente quello che abbiamo immaginato prima, con la nostra fervida mente visionaria.
Poi lo sposta di una quantità definita dal numero C. Se C è, ad esempio, (0+5i) lo sposta di 5 unità a destra; se è (-1-1i) lo sposta a sinistra di una unità e in basso di una unità.

Poi si vede dove è finito il numero, e si ripete il procedimento.

Adesso fate un salto con l’immaginazione. Prendete un numero C fissato, e immaginate una scena apocalittica: immaginate di applicare la successione non solo ad un singolo punto, ma a tutti i punti del piano, e di seguire individualmente il cammino di ogni punto mentre viene elevato al quadrato e poi brutalmente traslato per colpa della costante C.

Un gran casino, vero? E chissà cosa combineranno i vari punti…

Beh, ve lo dico io. Alcuni se ne andranno a quel paese e non li vedremo mai più, già dopo pochi giri di giostra. Altri no: per un motivo o per l’altro, si comporteranno più o meno come quelli che continuavano a girare intorno alla circonferenza unitaria. Però non staranno su una circonferenza, ma all’interno di qualcosa di molto più strano… immaginate di prendere C a caso, diciamo -0.470993+0.580842i, e guardate questa figura:

Julia

i punti che non vanno a quel paese continueranno a saltellare in modo apparentemente casuale, ma deterministico, da un punto all’altro della zona scura.

L’insieme dei punti che non vanno a quel paese si chiama insieme di Julia relativo al parametro C.

Questo insieme dall’aspetto così singolare è un frattale. Ben lungi dal ricordare uno dei classici luoghi geometrici che spuntano fuori nella geometria analitica classica, questo curioso oggetto ha alcune interessanti proprietà.

Quello che vedete in figura è connesso, ma torneremo su questo dettaglio dopo. Inoltre, è autosimile: se poteste munirvi di una lente di ingrandimento, potreste osservare l’aggeggio con un livello di zoom sempre crescente ed esso manterrebbe comunque la propria struttura così particolare, spiraleggiante. Non succederebbe lo stesso se osservaste una parabola, per esempio, o un’iperbole: oltre un certo ingrandimento, non distinguereste l’iperbole da un segmento, sarebbe troppo “stiracchiata”.

Esistono infiniti insiemi di Julia, uno per ogni valore del parametro C, ed ognuno ha le proprie caratteristiche. Alcuni insiemi sono connessi, come quello in figura; altri sono pressappoco filiformi, altri ancora sono dispersi in polvere di Cantor.

Se tralasciamo per un secondo l’innegabile fascino matematico, possiamo anche scrutare l’oggetto bizzarro e notare che è esteticamente piuttosto piacevole… almeno per me. Se non vi piace, siete privi di ogni senso estetico, e meritereste la forca.

La cosa che rende popolari i frattali, in computer grafica, è il fatto che si prestano benissimo a modellare profili naturali e fenomeni caotici in genere. Paesaggi, nuvole, fumo…

La maggior parte dei programmi che generano frattali curano molto l’aspetto dell’immagine finita, e prevedono innumerevoli schemi di mappatura dei colori per rendere l’output visivamente appagante.

Come può un programma tracciare un grafico accurato di un insieme di Julia? Semplice: da che mondo e mondo, i computer sono sempre stati bravi a fare una montagna di calcoli. E così si fa per ottenere i grafici che ci interessano.

Il computer itera la successione su ciascun punto, e cerca di stabilirne il destino: rimarrà in loco, o se ne andrà a quel paese? Stabilirlo è meno facile di quanto sembri. La successione definisce un sistema caotico, e un punto potrebbe rimanere nei pressi dell’origine per migliaia di iterazioni, per poi improvvisamente uscire di testa e partire verso l’infinito e oltre. E succede anche piuttosto spesso. Un programma che calcoli frattali di Julia deve scendere a qualche compromesso: si stabilisce un numero massimo di iterazioni della formula base e si assume che, una volta raggiunto tale tetto, un punto che non si trovi troppo distante dall’origine appartenga all’insieme di Julia. Potrebbe non essere vero, il punto potrebbe essere nei pressi dell’infinito anche solo un paio di iterazioni dopo: ma viviamo nel mondo del finito, e tolleriamo questa piccola approssimazione.

Ogni iterazione della formula sposta un punto del piano complesso, e gli fa descrivere traiettorie (a passi discreti) molto articolate. Se poteste vedere il cammino percorso da alcuni dei punti appartenenti all’insieme in figura, vedreste una serie di “salti” estremamente imprevedibili in alcuni casi, spirali che discendono dolcemente verso l’origine in altri, moti simili a quelli di un corpo attratto da più masse gravitazionali in altri ancora.

L’interno di un insieme di Julia è un mare in burrasca: possono esserci innumerevoli attrattori, e i punti si avvicinano ora ad un attrattore, ora all’altro, e talvolta vengono proiettati fuori con velocità crescente.

Nell’immagine qui sopra si è proceduto così: preso un punto (a+bi), si è iterata più volte la successione Z(n+1) = Z(n)2 + C su di esso (ossia si è posto Z(0)=a+bi). Al termine di ogni iterazione si è fatto un controllo: la distanza dall’origine del punto è diventata maggiore di TOT? Se è successo, il punto è stato giudicato irrecuperabile, e diretto verso l’infinito. I punti irrecuperabili sono stati colorati di bianco.

Se dopo 5000 iterazioni (nel caso della figura) il punto è ancora nei pressi dell’origine, ossia a distanza minore di TOT, gli si è data fiducia ed è stato giudicato sedentario e bonaccione, poco desideroso di partire verso Puttenburgo. I punti sedentari sono stati colorati di nero.

In alternativa, avremmo potuto assegnare un colore in funzione del numero di iterazioni necessarie al punto per sfuggire dalla zona nei pressi dell’origine e dirigersi chissà dove (ammesso che lo faccia, e che non sia un punto sedentario). Questo schema di colorazione in base alla “velocità di fuga” è il più diffuso, e consente di ottenere delle immagini molto pittoresche.

Gli insiemi di Julia al variare del parametro C sono tanti e variegati, dalle forme più strane e disparate. Se fate una semplice ricerca in rete, o vi dotate di qualche banale generatore di frattali, vedrete che questi insiemi sono davvero, come dice il loro spocchioso inventore, Mandelbrot, oggetti complessi e affascinanti.

E cos’è l’insieme di Mandelbrot? Semplice, visto che il simpatico omino ha inventato (o scoperto… qui il dilemma filosofico è non banale) i frattali di Julia, e ha visto che sono delle forme più disparate, si è detto: perché non giocherellare con il parametro C?

Quindi ha applicato ad ogni punto del piano una successione diversa. Ha imposto per ogni punto il parametro C uguale al punto stesso. Il punto 1+1i, ad esempio, appartiene all’insieme di Mandelbrot se appartiene anche all’insieme di Julia relativo al parametro 1+1i. L’insieme di Mandelbrot non è che un grosso catalogo.

E, sorprendentemente, se provate a generare un insieme di Julia partendo da un punto dell’insieme di Mandelbrot, troverete un insieme visivamente molto simile alla zona dell’insieme di Mandelbrot che si trova nelle vicinanze del punto da cui siete partiti.

Questa figura è una “foto” dell’insieme di Mandelbrot:

Mandelbrot - Thumbnail

Si può cliccare per ingrandire. Pare. Strano, non è vero?

Con estremo sbattimento ho collocato, in giro per l’immagine, delle miniature degli insiemi di Julia corrispondenti a diversi punti dell’insieme di Mandelbrot. Ciò dovrebbe rendere piuttosto evidente la somiglianza locale…

Gli insiemi di Julia che derivano da punti interni all’insieme di Mandelbrot sono connessi, quelli che derivano da punti esterni sono polveri, quelli che sono nei pressi del confine sono per lo più filiformi o dendritici. Come potete notare, i frattali di Julia e Mandelbrot hanno un aspetto piuttosto organico…

E anche qui si potrebbe sproloquiare per ore sul fatto che molte strutture del corpo umano, come i vasi sanguigni, i villi intestinali, ed il sistema nervoso hanno dimensione frattale. Per non parlare degli alberi, delle venature di alcune rocce, delle conchiglie… Ma ho sonno, e riserveremo il discorso per un’altra volta.

E adesso un’ultima nota, per riallacciarci al primo numero di Frattali Oggi: vi ricordate che al termine del nostro discorso abbiamo affermato che la felce ed il triangolo di Sierpinski non erano altro che i punti fissi di un particolare sistema di funzioni iterate?

Se non ve lo ricordate, dovreste… me lo ricordo io, sebbene abbia distrutto la mia copia della prestigiosa testata!

Ad ogni modo, possiamo dire che gli insiemi di Julia sono anch’essi punti fissi, i punti fissi della trasformazione Z(n+1) = Z(n)2 + C.
Infatti un punto appartenente all’insieme rimarrà all’interno dell’insieme stesso anche dopo essere stato trasformato infinite volte.

Bene, qui si conclude il secondo numero di Frattali Oggi.

Appuntamento ai prossimi numeri per discutere, finalmente (!), di Biforcazione e Alberi di Feigenbaum.

3 pensieri su “Frattali oggi – 2

  1. Giulia

    Senti un po’… Io quì non so come ci sono arrivata, ma i frattali sono sempre i frattali e la tua prosa dall’ironia vagamente nonsense è quasi ipnotica (o forse è colpa del caldo)… Quindi mi chiedo: di che segno sei? Ovviamente io lo so, te lo chiedo solo per conferma… Sto elaborando una mia statistica sulla correlazione tra la follia umana e il sengo zodiacale!

    Ing. G (quindi grezza e tamarra!)

  2. oracolo Autore articolo

    Hmm… potresti esserci arrivata da Google, ogni tanto dirotta la gente qui :-)

    Sono vergine ascendente vergine. Ma gli oroscopi ed annessi sono una massa di idiozie: ci credo solo il mercoledì (e non scherzo, infatti oggi è mercoledì e non è stato facile scrivere la frase precedente :-P)

    La teoria è confermata?

    In ultimo… quello che forse non si evince dal testo è che sono molti, molti anni che mi impegno per diventare grezzo & tamarro anche io, e forse tra un po’ ci riuscirò ;-)

  3. Giovanni

    Ciao, sono uno ossessivo compulsivo (diagnosticato) ma curato rompendo circoli viziosi con circoli virtuosi senza rompere la circolarità (tipo moto a rosetta, ci vado dove voglio). Studio fisica e odio i fisici ma anche un po’ i matematici (o meglio amo molto entrambi). Oggi sto peggio perciò sono un po’ opprimente. Quando sto meglio però piaccio molto alla gente. Se questa mail non ti disturba, coi frattali credo potrei andare molto d’accordo, e forse anche con te. Se non ti ho spaventato mandami una mail (sono innocuo verso gli altri, e verso me stesso sono solo stancante però riesco spesso a starmi zitto). PS: leggo le mail con una frequenza ridotta solo quando sto male. Ora sto male ma appena sto meglio ti rispondo, e saprai che in quel momento non sarò rompiballe. Un circolo virtuoso! Vi auguro un buon circolo virtuoso, ma solo se lo desiderate, altrimenti non vi importuno oltre

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