Frattali oggi – 1

Frattali Oggi vi insegnerà tutto ciò che avreste sempre voluto chiedere ma non avete mai avuto il coraggio di ascoltare sui frattali

Frattali Oggi vi guiderà alla scoperta di un nuovo fantastico mondo, quello della geometria frattale, che vi appassiona sin da piccoli, quando con una biro in mano distruggevate ogni parvenza di geometria euclidea

Frattali Oggi vi permetterà di rimorchiare, mesmerizzando le ragazze con forbiti discorsi sulla Teoria del Caos

Frattali Oggi vi spiegherà come confezionare magnifici foulard e stupende magliette colorate con le quali stupire gli amici e fare i tamarri in discoteca

Frattali Oggi vi farà capire perchè non riuscite a disegnare la Ferrilli a mano libera

Frattali Oggi vi darà la possibilità di dire la vostra quando sentirete dire, in Via S. Vincenzo a Genova, “La sezione di Poincaré di un attrattore strano nello spazio delle fasi non può che essere un attrattore strano a sua volta”

Frattali Oggi vi permetterà di costruire degli stupendi modellini in gesso dalla superficie infinita ma dal peso nullo

Frattali Oggi vi spiegherà cosa cavolo diceva quello scienziato malato con gli occhiali in “Jurassic Park”

Frattali Oggi vi mostrerà i segreti dietro ai programmi di generazione di immagini frattali, e vi permetterà di realizzare entusiasmanti immagini. Le più belle saranno poi pubblicate dalla rivista, e le potrete sfoggiare con vanto

Frattali Oggi vi dà la possibilità di ricevere comodamente a casa vostra i primi dieci risultati di una ricerca condotta con Google(tm) utilizzando come parole chiave “fractal+generator”

Introduzione

Due righe di introduzione sono doverose su un argomento così delicato come la geometria frattale. Il noto matematico francese Benôit (scusate per il circonflesso, ma ci voleva) Mandelbrot ama esporre l’argomento con “Avete mai misurato la costa della Nuova Zelanda?”.

Noi preferiamo la più informale domanda: “Avete mai provato a spostare un tavolino ancorato al suolo?”

In realtà il discorso è più profondo di quanto possa sembrare a prima vista. Si dice che Gaston Julia, altro matematico che non sopravvisse alle sue teorie, abbia rischiato più volte di affondare senza possibilità di risalire, ma più volte si sia salvato grazie alla forza del suo ingegno. Poi morì, e pazienza.

Noi comunque ci sentiamo di concludere qui questa introduzione. Per noi i frattali non rappresentano solo concetti astratti; non solo un modo alternativo di rappresentare la realtà, ma prima di tutto dei buffi disegnini colorati che ricordano l’esplosione sul piano radiale di una pizza quattro stagioni infarcita di tritolo.

Note del redattore: durante questo trattazione sarà fatto un ampio uso della Matematica Dei Puffi. Chi non fosse documentato è pregato di farlo; in due parole, si tratta di una forma di matematica per la quale 1=2 per valori sufficientemente grandi di 1 e piccoli di 2, e per la quale il teorema di Dini si applica sempre tranne quando fa i capricci.

Sistemi di funzioni iterate e Triangolo di Sierpinski

Sapete cos’è una contrazione?
Alcuni vi diranno che è una funzione la cui derivata prima è costantemente maggiorata dal valore 1.
Altri vi diranno che succede alle partorienti prima del grande evento.
Noi ve lo spieghiamo con un paio di esempi.

Accendete la calcolatrice. Scrivete il vostro anno di nascita. Premete il tasto con la radice quadrata per tre minuti. Il valore che vedete sul display (1, se non state barando) si chiama punto fisso, e il vostro premere il tasto della radice quadrata è una contrazione.

Prendete il vostro maglione nuovo. Lavatelo senza Perlana. Di nuovo. Ancora. Un’altra volta. Ok, di nuovo. Continuate. Dopo 60-70 volte, il maglione avrà smesso di restringersi ed infeltrirsi. Quello che vi sarà rimasto in mano è il punto fisso, e la lavatrice è la contrazione.

Osservate Michelle Pfeiffer. Se siete di sesso maschile, probabilmente quella che sentite è una contrazione. No, forse no.

Qualcuno si chiese: e se applicassimo ripetutamente una contrazione ad un piano, e vedessimo che cosa succede?
Qualcun altro rispose: dipende dalla contrazione.

Se prendiamo il piano e ne dimezziamo ripetutamente le dimensioni, dopo tre quarti d’ora ci ritroviamo con un puntino e siamo invogliati alla bestemmia.
Inventiamoci invece una contrazione strana (che sarebbe esprimibile con un sistema di funzioni, ma ci fa schifo):

  1. Prendo una porzione di piano.
  2. Lo dimezzo sull’asse X e Y.
  3. Faccio taglia con Photoshop.
  4. Faccio Incolla in un punto a caso.
  5. Faccio Incolla immediatamente sotto quello che ho incollato prima.
  6. Faccio Incolla immediatamente a destra di quello che ho appena incollato.
  7. Osservo soddisfatto quello che è venuto fuori, e riparto dal punto uno.

Cosa otterrò se applico questa contrazione un pò di volte? Be, la redazione di Frattali Oggi si è sbattuta per voi, e ve lo fa vedere in anteprima.

Ok, si parte da qui:

Frattali Oggi 1 - Prima trasformazione

Primo passaggio:

Frattali Oggi 1 - Seconda trasformazione

Secondo passaggio:

Frattali Oggi 1 - Terza trasformazione

Terzo passaggio:

Frattali Oggi 1 - Quarta trasformazione

Quarto passaggio:

Frattali Oggi 1 - Quinta trasformazione

Quinto passaggio:

Frattali Oggi 1 - Sesta trasformazione

Ecco quello che i nostri esperti chiamano Triangolo di Sierpinski. Volete sapere perchè? La forza deve venire da dentro di voi: sentitevi liberi di documentarvi.

Avrete capito che tutto dipende dalla contrazione iniziale: nel vostro tempo libero, provate a sperimentare cosa succede se, ad esempio, si ruota il disegno di 90 gradi in senso orario prima di incollarlo in alto a sinistra. O se si ribalta ogni volta specularmente il quadrato in basso a destra prima di incollarlo.

Ogni diverso sistema di funzioni dà luogo ad un frattale diverso: potrete addirittura divertirvi a disegnare frattali a mano, composti magari da una decina di trasformazioni, per poi dar loro il vostro nome, sicuri che nessuno l’abbia fatto prima di voi. Che soddisfazione, eh?

Ecco un altro esempio di frattale generato iterando un sistema di funzioni: le trasformazioni sono solo quattro, roto-traslazioni.
Sono evidenziate nell’immagine a destra.

Felce

Queste quattro semplici trasformazioni, iterate un numero opportuno di volte generano… beh, guardate voi stessi. E si potrebbe ingrandire all’infinito, senza perdere dettaglio.

Bene, questo termina la nostra scorrazzata nel magico mondo dei frattali: ci rivediamo puntualmente in edicola, per il secondo numero, che tratterà di… tutt’altro (non vogliamo rovinarvi la sorpresa.)

Finito di stampare nell’anno del signore 2000, sperando che il signore 2000 non se la prenda, altrimenti sarà impossibile distribuirla. Si ringrazia la redazione e TheDax per l’idea (è anche colpa sua!)

3 pensieri su “Frattali oggi – 1

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